Základná veta algebry - I

Nie každý polynóm s reálnymi koeficientami musí mať reálny koreň. Sú také polynómy, čo stále zotrvávajú na jednej strane osi $x$ - buď nad ňou, alebo pod ňou, ale nikdy ju nepretnú, aby si, nedajboh, ten koreň neurobili. Napr. polynóm $p(x)=(x^3-2x+5)^2 +1 $, ktorého hodnoty neklesnú pod jedničku.  Prekvapivo,

každý polynóm s komplexnými koeficientami má aspoň jeden komplexný koreň.

Toto je základná veta algebry (ZVA), ktorú by sme názorne chceli dokázať.

Čítať ďalej: Základná veta algebry - I

Pickova veta

Pickova veta

Pickova veta je jednou z periel elementárnej matematiky. Hádam každý piatak môže porozumieť, o čom hovorí. Nazvime mnohouholník v rovine jednoduchým, ak jeho hraničná čiara nepretína samu seba. Mnohouholník budeme volať mriežkovým, ak súradnice jeho vrcholov sú celočíselné. Pickova veta hovorí, že plochu $P(S)$ jednoduchého mriežkového mnohouholníka $S$ môžeme určiť vzorcom $$P(S) = i + \frac{1}{2}b-1,$$ kde $i$ je počet vnútorných mriežkových bodov mnohouholníka $S$ a $b$ je počet mriežkových bodov, ležiacich na hraničnej lomenej čiare $S$.

Čítať ďalej: Pickova veta

Van der Waerdenova veta

1    Formulácia, dôkaz pre AP dĺžky 3

Veta 1. Pri hocijakom zafarbení množiny všetkých prirodzených čísel $m$ farbami existuje monochromatická aritmetická postupnosť (ďalej budeme hovoriť AP) ľubovoľnej dĺžky.

Čítať ďalej: Van der Waerdenova veta