Základná veta algebry - I
Nie každý polynóm s reálnymi koeficientami musí mať reálny koreň. Sú také polynómy, čo stále zotrvávajú na jednej strane osi $x$ - buď nad ňou, alebo pod ňou, ale nikdy ju nepretnú, aby si, nedajboh, ten koreň neurobili. Napr. polynóm $p(x)=(x^3-2x+5)^2 +1 $, ktorého hodnoty neklesnú pod jedničku. Prekvapivo,
Toto je základná veta algebry (ZVA), ktorú by sme názorne chceli dokázať.
Prečo je to tak?
Základná myšlienka je jednoduchá a ľahko pochopiteľná. V našom rozprávaní bude hrať významnú úlohu graf absolútnej hodnoty polynómu, teda funkcie $f(z)=|p_n(z)|$. Na nasledujúcich dvoch obrázkoch sú také grafy pre polynómy, definované na reálnej osi. V obidvoch prípadoch je to polynóm piateho stupňa. Na ľavom obrázku má päť reálnych koreňov. Sú tam, kde je graf špicatý a opiera sa o os $x$. Na pravom obrázku sme polynóm trochu "podvihli" a tak mu ostal len jeden reálny koreň, úplne vľavo.
Ľavý obrázok je pozoruhodný tým, že v ňom existujú body, ktoré nie sú koreňmi polynómu, ale v okolí ktorých jeho absolútna hodnota stúpa. Sú to body, kde sa dosahujú kladné lokálne minimá - čiarkovane sme v nich vyznačili dotyčnice. Polynóm $p(x)$, pre ktorý sú všetky lokálne minimá jeho absolútnej hodnoty $|p(x)|$ kladné, nemá reálne korene - napr. $p(x)=x^2+1$.
Pre polynómy $p(z)$ s reálnymi, či komplexnými koeficientami, ak dovolíme, aby premenná $z$ nadobúdala ľubovoľné komplexné hodnoty, takáto situácia nemôže nastať. Funkcia $|p(z)|=|p(x+iy)|$ je funkciou dvoch premenných, teda nejaká plocha. Minimálne hodnoty funkcie $|p(z)|$ sa dosahujú len v takých bodoch, kde je $p(z)=0$, teda v koreňoch polynómu. S tým súvisí, že ak $z_0$ nie je koreň, tj. $|p(z_0)|\gt 0$, potom v tomto bode existuje smer, v ktorom absolútna hodnota polynómu klesá.
Precítime to na jednoduchom prípade polynómu $p_2(z)=z^2+1$, ktorého graf absolútnej hodnoty vidíte tu.
Rez plochy $|p_2(z)|$ zvislou rovinou, ktorá prechádza reálnou osou je grafom tej absolútnej hodnoty na reálnej osi. Je to parabola, celkom ležiaca nad reálnou osou. Z jej vrcholu nieto na reálnej osi úniku smerom nadol. Napravo i naľavo sa musíme driapať hore.
Inak je to v komplexných číslach. Stačí v tom vrchole vhodne z reálnej osi odbočiť a už sa kĺžeme smerom dole! Podľa toho, ako sme odbočili, sa dokĺžeme do jedného z lokálnych miním a zároveň koreňov polynómu $p_2(z)$, teda do bodu $i$ alebo $-i$.
A tak je to vždy, nielen pre tento polynóm. Na ďalších dvoch obrázkoch sú grafy absolútnej hodnoty pre polynómy tretieho a štvrtého stupňa (konkrétnejšie, $x^3-1,\ x^4-1$).
Nepáči sa vám, že sú tie korene také "špicaté"? Tak zoberieme polynóm s viacnásobnými koreňmi, napr. ${(z^4-1)}^2$ a bude to vyzerať inak :-)
To sme si zatiaľ tie polynómy v komplexnej rovine len tak oťukávali. Len niektoré... Nič všeobecné sme zatiaľ nedokázali. To urobíme v ďalšej časti. Teraz len sformulujeme dva fakty, ktoré sme spozorovali a ktoré spôsobujú, že základná veta algebry platí.
- Existuje aspoň jeden bod, kde $|p(z)|$ nadobúda najmenšiu hodnotu (zo všetkých bodov v celej komplexnej rovine). Všimli sme si, že tá najmenšia hodnota je $0$.
- V každom bode $z_0$, ktorý nie je koreňom, teda $|p(z_0)|\gt 0$ existuje smer, určený nejakým blízkym bodom $z_1$ (resp. vektorom $\mathbf{z_1}-\mathbf{z_0}$) taký, že sa v tomto smere absolútna hodnota zmenší, tj. $|p(z_1)|\lt |p(z_0)|.$
Ak dokážeme tieto dve tvrdenia, z nich priamo vyplýva aj základná veta algebry. Ukážeme, prečo.
Podmienečný dôkaz ZVA. Nech bod $z_m$ je ten bod, v ktorom sa dosahuje absolútne minimum funkcie $|p(z)|$, teda platí $$|p(z_m)| \le |p(z)|$$ pre ľubovoľné komplexné $z$. Predpokladajme, že $|p(z_m)|\gt 0$. Potom vieme nájsť pomocou druhého tvrdenia taký bod $z_1$, že $|p(z_1)|\lt |p(z_m)|$. To ale nie je možné, lebo hodnota $|p(z_m)|$ by nebola najmenšia. Náš predpoklad bol nesprávny a preto $|p(z_m)| = 0$, teda aj $p(z_m) = 0$ a $z_m$ je koreň, teda ZVA platí.
Ostáva dokázať tie dve tvrdenia a to urobíme v ďalšej časti.